Высшая математика: этюды по теории и её приложениям

Купить бумажную книгу и читать

Автор: Фролов С.В., Багаутдинова А.Ш.

Название: Высшая математика: этюды по теории и её приложениям

Издательство: СПб.: ГИОРД

Год: 2012

Страниц: 613

Формат: djvu

Размер: 5 mb

Материал, сгруппированный по основным разделам математики (дифференциальное исчисление, интегралы, дифференциальные уравнения, ряды и пр.), пополнен некоторыми темами, не входящими в стандартный курс. В книге показано, как на практике работают разделы, изучаемые в курсе высшей математики.

Учебное пособие способствует преодолению разрыва между материалом, излагаемым на первых курсах, и приложениями математики, с которыми студенты встречаются на последних стадиях обучения.

Предлагаемое издание предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Техническая физика», а также может быть использовано студентами иных естественно-научных и технических специальностей и преподавателями, ищущими красивые примеры для занятий, темы для студенческой научной работы, материал для математических кружков и т. д.

Содержание:

Предисловие.

Линейная алгебра и геометрия.

Устойчивость разностных схем решения задач математической физики.

Эллиптические координаты.

Оптические свойства кривых второго порядка и устойчивость лазерного луча.

Основы проективной геометрии.

Дважды линейчатые поверхности.

Рациональные параметризации и арифметика алгебраических кривых.

Группа единиц кольца остатков по целому модулю и асимметричная компьютерная криптография (схемы с открытым ключом).

Дифференциальное исчисление.

Явление радуги.

Реальные газы и уравнение Ван-дер-Ваальса.

Кривая намагничивания ферромагнетиков и явление гистерезиса.

Метод наименьших квадратов.

Принцип минимума свободной энергии и каноническое распределение Гиббса.

Простейшие особенности плоских кривых (крест, изолированная точка, клюв) и их распускания.

Огибающие семейств кривых и их особенности.

Дифференциальная геометрия и топология.

Кривизна и кручение пространственной кривой.

Базис Френе и формулы Френе.

Кривизна поверхности.

Гауссова кривизна и средняя кривизна

Внутренняя геометрия поверхности.

Параллельный перенос и геодезические.

Локальная теорема Гаусса-Бонне.

Плоскость Пуанкаре и геометрия Лобачевского.

Эйлерова характеристика поверхности и глобальная теорема.

Гаусса-Бонне. Классификация компактных двумерных поверхностей. Хроматические числа и проблема четырёх красок.

Непрерывные касательные векторные поля к двумерным поверхностям и теорема Пуанкаре.

Теория Морса. Многообразия высших размерностей.

Теорема о кобордизме и гипотеза Пуанкаре.

Комплексные числа.

Комплексное дифференцирование, конформные отображения и гармонические функции.

Дробно-линейные отображения и задача о тепловых потерях трубопровода.

Степенные отображения и задача о громоотводе.

Отображение Жуковского и обтекание цилиндра.

Особые точки гармонических функций (источник, вихрь, диполь).

Вихревые обтекания тел и подъёмная сила крыла.

Комплексная диэлектрическая проницаемость и СВЧ-нагрев пищевых продуктов.

Многочлены, кольца, алгебры, группы, поля.

Многочлены: результант, дискриминант, теорема Безу.

Арифметика мнимых квадратичных колец.

Кватернионы и вращения трёхмерного пространства.

Процедура Кэли-Диксона и октавы. Теоремы Гурвица и Фробениуса.

История становления векторного исчисления.

Конечные некоммутативные группы.

Группы перестановок и симметрий многоугольников и многогранников.

Порождающие элементы, определяющие соотношения и графы групп.

Разрешимые и простые группы.

Римановы поверхности аналитических функций.

Формула Римана-Гурвица. Группы Галуа и теорема Абеля.

Алгебраические расширения полей и построения с помощью циркуля и линейки.

Интегральное исчисление.

Кинетика простейших химических реакций.

Движение в центральном поле. Резерфордовское рассеяние.

Математический маятник и эллиптические интегралы.

Энергия гравитационной дифференциации Земли, мантийная конвекция и дрейф континентов.

Гамма- и бета-функции Эйлера, метод Лапласа и формула Стирлинга.

Сферические координаты в n-мерном пространстве.

Объём и площадь поверхности n-мерного шара.

Магнитное поле контура с током, интеграл Гаусса и коэффициент зацепления.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка (количественная теория).

Барометрическая формула в поле центробежной силы и определение молекулярной массы высокомолекулярных соединений.

Последовательные химические реакции и максимальный выход промежуточного продукта.

Функция распределения продукта по времени пребывания в аппаратах непрерывного действия.

Отвод тепла при хранении плодоовощной продукции.

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков (количественная теория).

Затухающие колебания. Линейный и нелинейный резонанс.

Уравнение Дуффинга.

Теория флаттера.

Задача Штурма-Лиувилля для радиальной части оператора Лапласа.

Функции Бесселя.

Приближённое решение прямым вариационным методом.

Нелинейные задачи на собственные значения.

Задача Эйлера о потере устойчивости колонны.

Угловая часть оператора Лапласа в полярных и сферических координатах.

Многочлены и функции Лежандра.

Уравнения с периодическими коэффициентами.

Матрица монодромии и решения Флоке.

Параметрический резонанс.

Квазиклассическое приближение, туннельный эффект и альфа-распад атомных ядер.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (качественная теория)

Модели конкуренции и модель хищник-жертва.

Модель роста и таяния ледника и глобальный климат.

Ламповый генератор и уравнения Ван-дер-Поля.

Анализ устойчивости предельного цикла.

Задача Жуковского о виброразделении смесей.

Вырождение собственных частот и вековые слагаемые.

Задача о рациональной компоновке автомобиля.

Устойчивость Лагранжевых движений в ограниченной задаче трёх тел.

Движение в центральном поле: замкнутость траекторий, скрытая симметрия кулоновского потенциала, потенциалы Ленца и задача Максвелла о «рыбьем глазе».

Ряды.

Асимптотическое разложение Эйлера-Маклорена.

Числа Бернулли.

Распределение простых чисел. Функции Мангольда и Римана и гипотеза Римана.

Явление Гиббса и проблема окантовки при компьютерном сжатии изображений.

Вейвлеты.

Уравнения математической физики.

Кинематика движения сплошной среды. Уравнение неразрывности и метод характеристик. «Блины Зельдовича» и крупномасштабное распределение вещества во Вселенной.

Задача остывания (нагревания) тела.

Метод разделения переменных.

Самосопряжённая эллиптическая краевая задача.

Квазиодномерная нестационарная теплопроводность, регулярный тепловой режим и вариационный метод.

Квазиодномерная стационарная теплопроводность, тепловое сопротивление квазиодномерной стенки

Процессы кристаллизации и задача Стефана. Автомодельное решение.

Квазистационарное приближение и формула Планка.

Теплопроводность неоднородных тел.

Методы неравновесной термодинамики и принцип Пригожина. Формула Эйкена

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса).

Задача Стокса о медленном движении шара.

Парадоксы Стокса и Уайтхеда и решение Озеена.

Уравнения Прандтля пограничного слоя.

Решение Блаузиуса. Метод сшивания асимптотических разложений.

Теплоотдача при ламинарном обтекании пластины.

Волны на поверхности воды. Уравнение Кортевега-де-Фриза, солитоны и уединённые волны

Дислокации в кристаллах, модель Френкеля-Конторовой и уравнение синус-Гордон.

Теплоотдача при стекании плёнки жидкости.

Функция распределения продукта по времени пребывания — модель «дрейф + диффузия».

Условия Данкверста.

Уравнение Шрёдингера в центрально-симметричном поле.

Кулоновский потенциал и вырождение уровней в атоме водорода.

Потенциал гармонического осциллятора.

Потенциалы Ленца, модель Томаса-Ферми и строение периодической системы элементов (правило Маделунга).

Вариационный метод приближённого решения задач.

квантовой механики. Потенциал ионизации атома гелия и двухэлектронных ионов.

Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Коэффициенты прохождения и отражения, туннельный эффект. Безотражательные потенциалы

Тепловая конвекция, задача Релея и система Лоренца.

Теория вероятностей и математическая статистика.

Некоторые парадоксы элементарной теории вероятностей.

Ветвящиеся процессы и проблема вымирания в теории эволюции.

Процессы случайного блуждания: вероятность возврата, связь с диффузией

Коэффициент корреляции и анализ зависимости источников в историографии

Пространства с мерой. Парадоксы неизмеримости.

Теория динамических систем.

Динамические системы с инвариантной мерой.

Эргодическая теорема Биркгофа и обоснование статистической механики.

Теорема Пуанкаре о возвращении. Перемешивание и термодинамическая необратимость.

Энтропия Колмогорова-Синая и проблема изоморфизма сдвигов Бернулли.

Цепные дроби и приближения иррациональных чисел рациональными.

Проблема построения календарей.

Алгебраические и трансцендентные числа.

Уравнение Пелля и единицы действительных квадратических колец.

Динамические системы, связанные с цепными дробями.

Теорема Хинчина-Леви.

Отображение отрезка в себя: каскад удвоений, универсальность Фейгенбаума и ренорм-группа.

Странные аттракторы, фракталы и хаусдорфова размерность.

Сосуществование циклов, теорема Шарковского, топологическая и ляпуновская энтропии.

Интегрируемые и неинтегрируемые гамильтоновы системы. Малые знаменатели и КАМ-теория.

Расщепление сепаратрис и отображение Чирикова.

Теория информации и математическая логика.

Понятие количества информации — вероятностный подход.

Формулы Хартли и Шеннона. Условная информация.

Количество информации — алгоритмический подход.

Частично и общерекурсивные функции, тезис Чёрча.

Перечислимые и разрешимые множества. Теорема Колмогорова.

Теория Рамсея, функция Аккермана, теорема Париса-Харрингтона и неполнота арифметики.

Кодирование информации. Проблема однозначности декодирования.

Неравенство Крафта. Полные коды.

Префиксные коды. Код Хаффмана. Арифметическое кодирование.

Словарные алгоритмы сжатия информации.

Коды Зива-Лемпела.

Блочные методы сжатия информации.

Преобразование Барроуза-Уилера

Фрактальное сжатие изображений

Помехоустойчивое кодирование. Линейные коды, генерирующая и проверочная матрицы.

Код Хэмминга.

Плотно упакованные коды.

Проблема максимума определителя, матрицы Адамара и эквидистантные коды.

Ассоциативная память. Спиновые стёкла и модель Хопфилда.

| |