Высшая математика. (В 3-х томах)

Купить бумажную книгу и читать

Автор: Бугров Я.С., Никольский С.М.

Название: Высшая математика. (В 3-х томах)

Издательство: Дрофа

Год: 2004

Формат: djvu / rar

Размер: 24,12 Мб

Учебник соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

В первом томе содержатся основные сведения по теории определителей и матриц, линейных систем уравнений, а также элементы векторной алгебры. Рассматриваются основные вопросы линейной алгебры: линейные операторы, самосопряженные операторы, квадратичные формы, линейное программирование. Включены элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.

Второй том содержит: введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, ряды. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

Третий том содержит: обыкновенные дифференциальные уравнения, кратные интегралы, векторный анализ, ряды и интеграл Фурье, простейшие задачи из теории уравнений математической физики, функции комплексного переменного, элементы операционного исчисления.

Том 1. СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 4

§ 1. Определители второго порядка 7

§ 2. Определители третьего и n-го порядка.. 8

§ 3. Матрицы.. 22

§ 4. Система линейных уравнений. Теория Кронекера-Капелли.. 25

§ 5. Трехмерное пространство. Векторы. Декартова система координат 48

§ 6. n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение 59

§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении 67

§ 8. Прямая линия 69

§ 9. Уравнение плоскости 80

§ 10. Прямая в пространстве 89

§ 11. Ориентация прямоугольных систем координат 93

§ 12. Векторное произведение 96

§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение....104

§ 14. Линейно независимая система векторов 105

§ 15. Линейные операторы 114

§ 16. Базисы в Rn 122

§ 17. Ортогональные базисы в Rn 128

§ 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений 138

§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости 141

§ 20. Линейные подпространства в Rn 145

§ 21. Теоремы фредгольмова типа 152

§ 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма....161

§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве....173

§ 24. Кривая второго порядка 178

§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве 196

§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве 217

§ 27. Плоскость в Rn 223

§ 28. Линейное программирование 241

Предметный указатель 282

Том 2. СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 9

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 11

§ 1.1. Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества 11

§ 1.2. Операции над множествами 13

§ 1.3. Символика математической логики 15

§ 1.4. Действительные числа 16

§ 1.5. Определение равенства и неравенства 20

§ 1.6. Определение арифметических действий 22

§ 1.7. Основные свойства действительных чисел... 29

§ 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа 31

§ 1.9. Неравенства для абсолютных величин 33

§ 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное множество 34

§ 1.11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел 35

Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 39

§ 2.1. Понятие предела последовательности 39

§ 2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел 47

§ 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 50

§ 2.4. Неопределенные выражения 52

§ 2.5. Монотонные последовательности 54

§ 2.6. Число е 58

§ 2.7. Принцип вложенных отрезков 59

§ 2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества 61

§ 2.9. Теорема Больцано—Вейерштрасса 66

§ 2.10. Верхний и нижний пределы 68

§ 2.11. Условие Коши сходимости последовательности 71

§ 2.12. Полнота и непрерывность множества действительных чисел 73

Глава 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 75

§ 3.1. Функция » 75

§ 3.2. Предел функции 88

§ 3.3. Непрерывность функции 98

§ 3.4. Разрывы первого и второго рода 106

§ 3.5. Функции, непрерывные на отрезке 110

§ 3.6. Обратная непрерывная функция 115

§ 3.7. Равномерная непрерывность функции 118

§ 3.8. Элементарные функции 121

§ 3.9. Замечательные пределы 136

§ З.10. Порядок переменной. Эквивалентность 139

Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 144

§ 4.1. Производная 144

§ 4.2. Геометрический смысл производной 148

§ 4.3. Производные элементарных функций 156

§ 4.4. Производная сложной функции 158

§ 4.5. Производная обратной функции 160

§ 4.6. Производные элементарных функций (продолжение) 161

§ 4.7. Дифференциал функции 164

§ 4.8. Другое определение касательной 168

§ 4.9. Производная высшего порядка 169

§ 4.10. Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка 171

§ 4.11. Дифференцирование параметрически заданных функций 174

§ 4.12. Теоремы о среднем значении 174

§ 4.13. Раскрытие неопределенностей 182

§ 4.14. Формула Тейлора 186

§ 4.15. Ряд Тейлора 192

§ 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций 195

§ 4.17. Локальный экстремум функции 200

§ 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке 205

§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба 207

§ 4.20. Асимптота графика функции 212

§ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая 215

§ 4.22. Схема построения графика функции 217

§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали 222

Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 227

§ 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов 227

§ 5.2. Методы интегрирования 232

§ 5.3. Комплексные числа 239

§ 5.4. Теория многочлена п-й степени 244

§ 5.5. Действительный многочлен п-й степени .... 247

§ 5.6. Интегрирование рациональных выражений 250

§ 5.7. Интегрирование иррациональных функций 254

Глава 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 259

§ 6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение 259

§ 6.2. Свойства определенных интегралов 267

§ 6.3. Интеграл как функция верхнего предела ..275

§ 6.4. Формула Ньютона-Лейбница 278

§ 6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме 284

§ 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла 286

§ 6.7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций 289

§ 6.8. Несобственные интегралы 291

§ 6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 296

§ 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов 300

§ 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках 302

Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 305

§ 7.1. Площадь в полярных координатах 305

§ 7.2. Объем тела вращения 306

§ 7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги 307

§ 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента 316

§ 7.5. Площадь поверхности вращения 321

§ 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа 323

§ 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций 326

§ 7.8. Формула Симпсона 330

Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 335

§ 8.1. Предварительные сведения 335

§ 8.2. Предел функции 338

§ 8.3. Непрерывная функция 345

§ 8.4. Частные производные и производная по направлению 350

§ 8.5. Дифференцируемые функции 356

§ 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 360

§ 8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала 364

§ 8.8. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент ... 366

§ 8.9. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 372

§ 8.10.Формула Тейлора 378

§ 8.11. Замкнутое множество 380

§ 8.12. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве —386

§ 8.13. Экстремумы 391

§ 8.14. Нахождение наибольших и наименьших значений функции 397

§ 8.15.Теорема существования неявной функции.399

§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль 404

§ 8.17. Системы функций, заданных неявно 407

§ 8.18. Отображения 414

§ 8.19. Условный (относительный) экстремум 416

Глава 9. РЯДЫ 425

§ 9. 1. Понятие ряда 425

§ 9.2. Несобственный интеграл и ряд 428

§ 9.3. Действия с рядами 430

§ 9.4. Ряды с неотрицательными членами 432

§ 9.5. Ряд Лейбница 438

§ 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды 439

§ 9.7. Условно сходящиеся ряды с действительными членами 441

§ 9.8. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 442

§ 9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов 451

§ 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов 458

§ 9.11. Степенные ряды 462

§ 9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 467

§ 9.13. Функции еz, sin z, cos z от комплексного переменного 474

§ 9.14. Ряды в приближенных вычислениях 478

§ 9.15. Понятие кратного ряда 487

§ 9.16.Суммирование рядов и последовательностей 496

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 502

Том 3. СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 8

Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 11

§ 1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению 11

§ 1.2. Общие понятия 12

§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.... ..............24

§ 1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка 36

§ 1.5. Метрическое пространство 40

§ 1.6. Доказательство теоремы существования решения дифференциального уравнения первого порядка 47

§ 1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка 51

§ 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной 52

§ 1.9. Особые решения 56

§ 1.10. Огибающая семейства кривых 57

§ 1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка 60

§ 1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка 63

§ 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка 65

§ 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения 69

§ 1.15. Линейные уравнения высшего порядка 73

§ 1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 81

§ 1.17. Метод вариации постоянных 87

§ 1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения 90

§ 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство 103

§ 1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений 107

§ 1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 112

§ 1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению 121

§ 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 124

§ 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов 128

§ 1.25. Элементы теории устойчивости 134

§ 1.26. Классификация точек покоя 142

Глава 2. Кратные интегралы 154

§ 2.1. Введение 154

§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана 161

§ 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования 168

§ 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным.... 173

§ 2.5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции 185

§ 2.6. Замена переменных. Простейший случай 187

§ 2.7. Замена переменных. Общий случай 189

§ 2.8. Полярная система координат в плоскости....193

§ 2.9. Полярная система координат в пространстве 196

§ 2.10. Цилиндрические координаты 198

§ 2.11. Площадь поверхности 200

§ 2.12. Координаты центра масс 208

§ 2.13. Несобственные интегралы 213

§ 2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии 218

§ 2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра 219

Глава 3. Векторный анализ 230

§ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая....230

§ 3.2. Криволинейный интеграл первого рода 233

§ 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой 235

§ 3.4. Поле потенциала 241

§ 3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах 250

§ 3.6. Ориентация плоской области 252

§ 3.7. Формула Грина 254

§ 3.8. Интеграл по поверхности первого рода 259

§ 3.9. Ориентация поверхности 261

§ 3.10. Система координат и ориентация поверхности 264

§ 3.11. Интеграл по ориентированной плоской области 268

§ 3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность 271

§ 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского 276

§ 3.14. Соленоидальное поле 284

§ 3.15. Формула Стокса 285

Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 291

§ 4.1. Тригонометрические ряды 291

§ 4.2. Сходимость тригонометрических рядов 297

§ 4.3. Ряд Фурье 299

§ 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье 302

§ 4.5. Ортогональные свойства тригонометрических функций 306

§ 4.6. Коэффициенты Фурье 308

§ 4.7. Оценка коэффициентов Фурье 309

§ 4.8. Пространство функций со скалярным произведением .' 310

§ 4.9. Ортогональная система функций 314

§ 4.10. Полнота тригонометрических функций 318

§ 4.11. Комплексная форма ряда Фурье 322

§ 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье 323

§ 4.13. Косинус- и синус-преобразования Фурье 331

§ 4.14. Примеры 332

§ 4.15. Приближение интеграла Фурье 336

§ 4.16. Сумма Фейера 337

§ 4.17. Полнота систем функций в С и L2' 343

§ 4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье....346

Глава 5. Уравнения математической физики 361

§ 5.1. Температура тела 361

§ 5.2. Задача Дирихле 363

§ 5.3. Задача Дирихле для круга 364

§ 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости 366

§ 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне 369

§ 5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня 374

§ 5.7. Малые колебания струны 376

§ 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера 381

§ 5.9. Колебание круглой мембраны 382

§ 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля 387

§ 5.11. Интеграл энергии (Дирихле) 390

§ 5.12. Применение преобразований Фурье 395

Глава 6. Теория функций комплексного переменного 401

§ 6.1. Понятие функции комплексного переменного 401

§ 6.2. Производная функция комплексного переменного 404

§ 6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана) 411

§ 6.4. Гармонические функции 415

§ 6.5. Обратная функция 419

§ 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного 425

§ 6.7. Формула Коши 431

§ 6.8. Интеграл типа Коши 434

§ 6.9. Степенной ряд 435

§ 6.10. Ряд Лорана 438

§ 6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты .444

§ 6.12. Классификация особых точек на бесконечности . 451

§ 6.13. Теорема о вычетах 454

§ 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов 455

§ 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция 462

Глава 7. Операционное исчисление 468

§ 7.1. Изображение Лапласа 468

§ 7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений 470

§ 7.3. Приложения операционного исчисления 487

Глава 8. Обобщенные функции 495

§ 8.1. Понятие обобщенной функции 495

§ 8.2. Операции над обобщенными функциями 501

§ 8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций 503

Предметный указатель 506