Универсальная арифметика. Том 1. Все образы алгебраического исчисления

Купить бумажную книгу и читать

Автор: Леонард Эйлер

Название: Универсальная арифметика. Том 1. Все образы алгебраического исчисления

Издательство: Типография Императорской Академии Наук, СПБ

Год: 1768

Формат: DjVu

Язык: RUS

Размер архива, Мб: 6

Размер, Мб: 6

Страниц: 383

Формат архива: RAR, 3% на восстановление

Для сайта:

Перевод с немецкого издания выполненный студентами Петром Иноходцевым и Иваном Юдиным. Книга предназначалась для употребления в гимназии при Императорской Академии Наук. Учебник высшей алгебры, ставший прообразом всех последующих, вплоть до учебников конца XIX - начала ХХ вв. Двухтомное "Полное введение в алгебру" Эйлер подготовил по возвращении в Петербург. Примечательно, что на немецком языке он был издан позже чем на русском (1770), переводчики работали с рукописью. "Универсальная арифметика" Л.Эйлера написана как бы в 2 планах - учебном и исследовательском. Она состоит из 2 томов, из которых здесь представлен только первый.

В первом томе разработан основной алгебраический аппарат. Вводный раздел первого тома называется "О разных исчислениях простых количеств" и начинается с общих рассуждений ""о математике вообще"", определения понятия числа как ""отношения одного количества к другому"", характеристики предмета алгебры. Эйлер считает, что алгебра, или аналитика, - "основательная часть математики", заключающая "вообще все случаи, какие токмо при учении о числах и исчислении оных место иметь могут". Он характеризует взаимосвязи алгебры с арифметикой как "наукой о числах собственно так называемых", которая "простирается токмо до известных родов исчисления, которые чаще в общежитии случаются". Здесь же излагается алгебраическое знакоположение, рассматриваются действия с положительными и отрицательными числами, а также с дробями. Рассматривается извлечение корней и в связи с этим иррациональные числа. Завершается этот раздел теорией логарифмов.

Во втором разделе, озаглавленном "О разных исчислениях сложных количеств", рассматриваются действия над многочленами, исследуются ряды, получающиеся при делении 1 на (1-а), и бином Ньютона для любого показателя. В третьем разделе первого тома рассматриваются отношения, пропорции, прогрессии, бесконечные десятичные дроби и проценты ("исчисление интересов").

В первом томе Эйлер стремился к возможно более полному обоснованию алгебраических правил. Законам действий отведено немного места: рассматривается лишь переместительный закон умножения. Более подробно рассмотрен случай деления на нуль в духе присущих Эйлеру взглядов на бесконечность. Эти взгляды он частично раскрыл еще в "Руководстве к арифметике". Не обходя трудные места, он достаточно четко и корректно с математической точки зрения их разъясняет. Так, касаясь случая, когда делитель является нулем, Эйлер пишет: "Тогда частное число есть бесконечного количества; но понеже сей случай в обыкновенном делении не приходит, то тем, которые учиться еще начинают, о бесконечных количествах ничего предлагать не надобно".

Не всегда внятно изложена природа отрицательных, иррациональных (по Эйлеру, "неизвлекомых") и мнимых ("невозможных") чисел. "Поелику все числа, какие токмо представить себе можно, суть или меньше или больше 0, или суть самый 0, то явствует, что квадратные корни из отрицательных чисел, в число возможных включить не можно, и что следственно оные наименовать должно числами невозможными". Однако Эйлер признает их пользу для алгебры, так как они, по его мнению, служат признаком невозможности решения задачи.

Учение о логарифмах Эйлер изложил заново . Логарифм он определяет как показатель степени выбранного основания. Особенно большое внимание уделил Эйлер процессу логарифмирования и его связям с другими способами вычисления. Общепризнанно, что учение о логарифмах - одна из лучших частей его книги.

Академик В.Я.Буняковский так характеризовал первый том эйлеровской алгебры: "Первая часть "Алгебры" Эйлера послужит драгоценным руководством преподавателю арифметики для собственного образования. Из этого образцового сочинения он научится ясно и отчетливо излагать свои мысли, располагать самым выгодным образом как общие предложения, так и приемы решения частных вопросов и, так сказать, доводить учеников самих к открытию доказываемых истин, что конечно, в высшей степени полезно. С другой стороны, изучавший основательно эту книгу, усилится в теоретической части арифметики, потому что эта часть излагается у Эйлера в самой близкой связи с начальными понятиями об алгебре и, следовательно, получает там более развития и определительности, чем в обыкновенных курсах".