Высшая математика. Учебник для студентов вузов в 2-х томах (том 1)

Купить бумажную книгу и читать

Название: Высшая математика. Учебник для студентов вузов в 2-х томах (том 1)

Автор: Гусак А.А.

Издательство: ТетраСистемс

Год: 2007

Формат: pdf

Язык: русский

Cтраниц: 545

Размер: 14 МБ

Для сайта:

Книга написана в соответствии с учебной программой курса высшей математики для вузов. Издается в двух томах. В первый том включены следующие разделы: аналитическая геометрия, линейная алгебра, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, приближенное решение уравнений. Изложение теоретического материала иллюстрировано многочисленными примерами. Предназначается студентам, аспирантам и преподавателям вузов.

Метод координат .

Координаты на прямой.

Декартовы прямоугольные координаты на плоскости.

Деление отрезка в данном отношении.

Центр тяжести системы масс.

Полярные координаты.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве.

Расстояние между двумя точками.

Цилиндрические и сферические координаты.

Геометрическое значение уравнений между координатами на плоскости.

Параметрические уравнения линии.

Алгебраические линии первого и второго порядка .

Прямая на плоскости.

Общее уравнение окружности.

Эллипс.

Гипербола.

Директрисы эллипса и гиперболы.

Парабола.

Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы.

Преобразования декартовых прямоугольных координат.

Простейшие приложения формул преобразования координат к упрощению уравнений линий второго порядка.

Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат.

Упрощение общего уравнения второй степени.

Комплексные числа .

Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними.

Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами.

Возведение в степень комплексного числа. Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Матрицы. Основные определения.

Действия над матрицами.

Определители второго и третьего порядков и их свойства.

Определители n-го порядка.

Обратная матрица.

Ранг матрицы.

Системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.

Метод последовательного исключения неизвестных.

Исследование систем линейных уравнений.

Векторы.

Основные понятия.

Линейные операции над векторами.

Условие коллинеарности двух векторов.

Проекция вектора на ось.

Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора.

Переход от векторных соотношений к координатным.

Скалярное произведение двух векторов.

Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат.

Векторное произведение двух векторов.

Смешанное произведение трех векторов.

Линейная зависимость векторов.

Понятие об аффинных координатах.

Элементы аналитической геометрии в пространстве .

Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве.

Геометрическое значение одного и двух уравнений между координатами в пространстве.

Параметрические уравнения линии и поверхности.

Плоскость в пространстве.

Прямая в пространстве.

Задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной координатной оси. Цилиндры второго порядка.

Уравнение поверхности вращения.

Поверхности вращения второго порядка.

Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями.

Линейные пространства. Линейные преобразования .

Понятие линейного пространства. Подпространство.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства.

Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств.

Координаты вектора линейного пространства.

Ранг системы векторов линейного пространства.

Преобразование координат вектора при изменении базиса.

Евклидово пространство.

Линейное преобразование и его матрица.

Линейное преобразование в координатах.

Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы.

Характеристическое уравнение линейного преобразования.

Собственные векторы линейного преобразования.

Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы.

Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

Действия над линейными преобразованиями.

Невырожденные линейные преобразования.

Ортогональные матрицы.

Ортогональные преобразования.

Квадратичные формы .

Основные определения.

Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных.

Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду.

Закон инерции квадратичных форм.

Знакоопределенные квадратичные формы.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных.

Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости.

Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве.

Группы .

Некоторые общие свойства операций над числами, векторами, матрицами и другими объектами.

Понятие группы. Примеры групп.

Подгруппа.

Группы преобразований.

Симметрическая группа n-й степени.

Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного треугольника.

Изоморфизм групп.

Разложение группы по подгруппе.

Нормальный делитель.

Классы сопряженных элементов.

Фактор-группа.

Гомоморфизм групп.

Представления групп.

Функции и пределы .

Числовые множества. Отрезок, интервал, промежуток.

Понятие функции.

График функции.

Понятие функции нескольких переменных.

Предел функции.

Бесконечно малые функции и их свойства.

Бесконечно большие функции.

Основные теоремы о пределах функций.

Непрерывность функции в точке.

Точки разрыва функции.

Непрерывность функции на промежутке.

Предел последовательности.

Число e.

Натуральные логарифмы.

Показательная функция.

Некоторые важные пределы.

Сравнение бесконечно малых функций.

Производные и дифференциалы.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

Производные некоторых функций.

Основные правила дифференцирования.

Производная сложной функции.

Основные формулы дифференцирования.

Производные высших порядков.

Понятие дифференциала, его геометрический и механический смысл.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Свойства дифференциала.

Дифференциалы высших порядков.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Формула Тейлора.

Формула Тейлора для некоторых функций.

Приближенные формулы.

Правило Лопиталя —Бернулли. Максимумы и минимумы.

Правило Лопиталя-Бернулли.

Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.

Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

Достаточное условие экстремума.

Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Направления выпуклости, точки перегиба.

Асимптоты.

Исследование функций и построение их графиков.

Задачи на наибольшие и наименьшие значения.

Кривизна .

Эквивалентность бесконечно малой дуги и стягивающей хорды. Дифференциал дуги плоской кривой.

Понятие кривизны плоской линии.

Формула кривизны.

Окружность кривизны. Центр и радиус кривизны.

Переменная векторная величина Вектор-функция скалярного аргумента.

Дифференцирование вектор-функций.

Кривизна пространства линии.

Приближенное решение уравнений .

Графическое решение уравнений. Отделение корней уравнений.

Метод хорд.

Метод касательных.

Комбинированный метод.

Метод итераций.

Метод малого параметра.

Неопределенный интеграл .

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.

Таблица основных неопределенных интегралов.

Понятие об основных методах интегрирования.

Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе.

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование простейших иррациональных функций.

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

Некоторые замечания об интегрировании функций.

Примеры простейших дифференциальных уравнений.

Определенный интеграл .

Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам.

Понятие определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла.

Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.

Существование первообразной для непрерывной функции.

Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Приближенное вычисление определенных интегралов.

Несобственные интегралы.

Понятие об эйлеровых интегралах.

Приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной фигуры в прямоугольных декартовых координатах.

Площадь в полярных координатах.

Длина дуги кривой.

Объем тела.

Площадь поверхности вращения.

Работа переменной силы.

Понятие об эллиптических интегралах.