Практикум по математическому анализу

Купить бумажную книгу и читать

Название: Практикум по математическому анализу

Автор: О.Н. Быкова, С.Ю. Колягин, Б.Н. Кукушкин

Издательство: МПГУ

Год: 2011

Страниц: 275

ISBN: 978-5-4263-0056-9

Формат: PDF

Размер: 2.8 Мб

Язык: русский

Предлагаемое учебное пособие, по замыслу авторов, может служить студентам математических и физико-математических факультетов педагогических вузов руководством к практическим занятиям по курсу математического анализа. Оно будет также полезным молодым преподавателям для подготовки и проведения семинаров по данной учебной дисциплине. Надобность в таком пособии вызвана тем, что существующие задачники по математическому анализу не могут в полной мере отвечать этому назначению. Часто их содержание выходит за пределы действующих примерных программ по математическому анализу для направлений педагогического образования, поэтому студенту I-II курсов педвуза зачастую трудно в них ориентироваться.

Таким образом, перед авторами стояла задача создать учебное пособие, материал которого был бы ограничен рамками действующих примерных программ по математическому анализу для студентов, обучающихся по направлениям бакалавриата:

050100 — Педагогическое образование (профили «Математика», «Информатика», «Математика и информатика», «Информатика и математика», «Математика и экономика», «Информатика и экономика»),

010100 — Математика (профиль «Преподавание математики и информатики»).

В этом, на взгляд авторов, нашёл своё воплощение принцип соответствия учебно-методических работ актуальным направлениям развития отечественной образовательной системы, включая реализацию компетентностного подхода и развитие блочно-модульной структуры обучения.

Предлагаемое учебное пособие полностью соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования (ФГОС НПО) и примерным образовательным программам по указанным направлениям и их различным профилям.

Пособие содержит 80 тем практических занятий по математическому анализу для студентов I и II курсов. В начале каждой темы имеется краткий теоретический материал, включающий в себя определения, обозначения, формулировки теорем и формулы, необходимый при решении задач по данной теме. Каждая тема в пособии снабжена системой задач в количестве, достаточном для изучения данной темы на двухчасовом практическом занятии. Одна-две задачи в теме приводятся с подробными решениями, остальные задачи, как правило, снабжены ответами. В конце темы имеются упражнения, которые можно использовать для самостоятельной работы студентов, в том числе — в качестве домашнего задания по изучаемой теме.

Большинство заданий в пособии заимствовано из известных задачников по математическому анализу (см. список литературы). Вместе с тем в пособии имеется и целый ряд оригинальных задач и упражнений.

Содержание

Предисловие.

Действительные числа. Модуль действительного числа.

Метод математической индукции.

Ограниченность числовых множеств. Границы и грани.

Функция. График функции.

Основные типы поведения функций.

Основные элементарные функции. Частичное исследование функций.

Линейные и модульные преобразования графиков.

Сложная функция. «Сложение» и «умножение» графиков.

Обратная функция и её свойства.

Числовая последовательность.

Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Вычисление пределов последовательностей.

Предел функции. Теоремы о пределах функций.

Вычисление пределов функции. Первый замечательный предел.

Вычисление пределов с использованием «табличных» пределов.

Сравнение бесконечно малых. Вычисление пределов с помощью сравнения бесконечно малых. Семестровое задание по технике вычисления пределов.

Односторонние пределы. Предел по множеству.

Непрерывность функции.

Непрерывность сложной и обратной функций.

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва.

Равномерная непрерывность функции на множестве.

Функции, непрерывные на отрезках.

Дифференцируемость и производная.

Табличные производные и правила дифференцирования.

Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль.

Техника дифференцирования.

Дифференциал. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Правила Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.

Исследование функции на монотонность. Экстремум.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

Полное исследование функции и построение её графика.

Наименьшее и наибольшее значения функции.

Формула Тейлора.

Геометрические и физические приложения производной.

Первообразная и неопределённый интеграл.

Вычисление неопределённых интегралов заменой переменной и по частям.

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.

Интегрирование тригонометрических выражений. Семестровое задание по технике интегрирования.

Интегральная сумма Римана. Суммы Дарбу. Определённый интеграл.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определённых интегралов по частям и заменой переменной.

Вычисление площадей плоских фигур.

Вычисление длин плоских кривых.

Вычисление объёмов и площадей поверхностей тел вращения.

Физические приложения определённого интеграла.

Несобственные интегралы.

Исследование сходимости несобственных интегралов.

Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Сравнение положительных рядов.

Признаки Даламбера и Коши.

Интегральный признак сходимости. Критерий Коши.

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница.

Абсолютная и условная сходимости.

Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Равномерная сходимость функциональных рядов Свойства равномерно сходящихся рядов непрерывных функций. .

Степенные ряды. Промежуток сходимости.

Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора.

Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Некоторые приложения степенных рядов.

Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.

Неполные ряды Фурье. Разложение по косинусам и синусам.

Точечные множества на плоскости и в пространстве. Функции нескольких переменных.

Предел функции нескольких переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных.

Частные производные. дифференцируемость функции не скольких переменных.

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент.

Формула Тейлора для функции двух переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Экстремум функции нескольких переменных.

Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных.

Неявные функции.

Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.

Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Вычисление объёмов пространственных тел с помощью двойного интегралов.

Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла.

Тройной интеграл.

Криволинейный интеграл. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.

Формула Грина. Вычисление площадей плоских фигур с помощью криволинейного интеграла.

Физические приложения кратных и криволинейных интегралов.

Библиографический список.