Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)

Купить бумажную книгу и читать

Автор: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я.

Название: Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)

Издательство: Высшая школа

Год: 1986

Формат: djvu / rar

Размер: 21,8 Мб.

Содержание I части охватывает следующие разделы программы: аналитическую геометрию, основы линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной независимой переменной, элементы линейного программирования.

Содержание II части охватывает следующие разделы программы: кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы вычислений, основы вариационного исчисления.

В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы.

Часть 1.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к четвертому изданию 5

Из предисловий к первому, второму и третьему изданиям 5

Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости

§ 1. Прямоугольные и полярные координаты 6

§ 2. Прямая. 15

§ 3. Кривые второго порядка 25

§ 4. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка 32

§ 5. Определители второго и третьего порядков и системы линейных уравнений с двумя и тремя неиз-вестными 39

Глава II. Элементы векторной алгебры

§ 1. Прямоугольные координаты в пространстве 44

§ 2. Векторы и простейшие действия над ними. 45

§ 3. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение . 48

Глава III. Аналитическая геометрия в пространстве

§ 1. Плоскость и прямая . 53

§ 2. Поверхности второго порядка. 63

Глава IV. Определители и матрицы

§ 1. Понятие об определителе n-го порядка. 70

§ 2. Линейные преобразования и матрицы 74

§ 3. Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка 81

§ 4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы 86

§ 5. Исследование системы т линейных уравнений с n неизвестными . 88

§ 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса 91

§ 7. Применение метода Жордана — Гаусса к решению систем линейных уравнений 94

Глава V. Основы линейной алгебры

§ 1. Линейные пространства 103

§ 2. Преобразование координат при переходе к новому базису . 109

§ 3. Подпространства 111

§ 4. Линейные преобразования 115

§ 5. Евклидово пространство 124

§ 6. Ортогональный базис и ортогональные преобразования 128

§ 7. Квадратичные формы 131

Глава VI. Введение в анализ

§ 1. Абсолютная и относительная погрешности 136

§ 2. Функция одной независимой переменной 137

§ 3. Построение графиков функций 140

§ 4. Пределы 142

§ 5. Сравнение бесконечно малых 147

§6. Непрерывность функции 149

Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной

§ 1. Производная и дифференциал 151

§ 2. Исследование функций 167

§ 3. Кривизна плоской линии 183

§ 4. Порядок касания плоских кривых 185

§ 5. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная . 185

§ 6. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и кручение 188

Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных

§ 1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня 192

§ 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных . 193

§ 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 203

§ 4. Экстремум функции двух независимых переменных 204

Глава IX. Неопределенный интеграл

§ 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям 208

§ 2. Интегрирование рациональных дробей 218

§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций 229

§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 234

§ 5. Интегрирование разных функций 242

Глава X. Определенный интеграл

§ 1. Вычисление определенного интеграла 243

§ 2. Несобственные интегралы 247

§ 3. Вычисление площади плоской фигуры 251

§ 4. Вычисление длины дуги плоской кривой 254

§ 5. Вычисление объема тела 255

§ 6. Вычисление площади поверхности вращения 257

§ 7. Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур . 258

§ 8. Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена . 260

§ 9. Вычисление работы и давления 262

§ 10. Некоторые сведения о гиперболических функциях 266

Глава XI. Элементы линейного программирования

§ 1. Линейные неравенства и область решений системы линейных неравенств 271

§ 2. Основная задача линейного программирования 274

§ 3. Симплекс-метод 276

§ 4. Двойственные задачи 287

§ 5. Транспортная задача 288

Ответы 294

Часть 2.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Двойные и тройные интегралы

§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах б

§ 2. Замена переменных в двойном интеграле 10

§ 3. Вычисление площади плоской фигуры 14

§ 4. Вычисление объема тела 16

§ 5. Вычисление площади поверхности 17

§ 6. Физические приложения двойного интеграла 20

§ 7. Тройной интеграл 23

§ 8. Приложения тройного интеграла 28

§ 9. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла . 30

§ 10. Гамма-функция. Бета-функция 35

Глава II. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности

§ 1. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам . . 42

§ 2. Независимость криволинейного интеграла II рода от контура интегрирования. Нахождение функции по ее полному дифференциалу 47

§ 3. Формула Грина 50

§ 4. Вычисление площади 51

§ 5. Поверхностные интегралы 52

§ 6. Формулы Стокса и Остроградского — Гаусса. Элементы теории поля 56

Глава III. Ряды

§ 1. Числовые ряды 66

§ 2. Функциональные ряды 77

§ 3. Степенные ряды 81

§ 4. Разложение функций в степенные ряды 86

§ 5. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов 91

§ 6. Применение степенных рядов к вычислению пределов и определенных интегралов 95

§ 7. Комплексные числа и ряды с комплексными числами 97

§ 8. Ряд Фурье 106

§ 9. Интеграл Фурье 113

Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 117

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 139

§ 3. Линейные уравнения высших порядков 145

§ 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 161

§ 5. Системы дифференциальных уравнений 166

Глава V. Элементы теории вероятностей

§ 1. Случайное событие, его частота и вероятность. Геометрическая вероятность 176

§ 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность 179

§ 3. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события 183

§ 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса 186

§ 5. Случайная величина и закон ее распределения 188

§ 6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины 192

§ 7. Мода и медиана . 195

§ 8. Равномерное распределение 196

§ 9. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона .... 197

§ 10. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности 200

§ 11. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа .... 202

§ 12. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины .... 206

§ 13. Закон больших чисел 210

§ 14. Теорема Муавра—Лапласа 213

§ 15. Системы случайных величин 214

§ 16. Линии регрессии. Корреляция 223

§ 17. Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных 228

§ 18. Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 240

Глава VI. Понятие об уравнениях в частных производных

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных 260

§ 2. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду 262

§ 3. Уравнение колебания струны 265

§ 4. Уравнение теплопроводности 272

§ 5. Задача Дирихле для круга 278

Глава VII. Элементы теории функций комплексного переменного

§ 1. Функции комплексного переменного . 282

§ 2. Производная функции комплексного переменного 285

§ 3. Понятие о конформном отображении 287

§ 4. Интеграл от функции комплексного переменного 291

§ 5. Ряды Тейлора и Лорана 295

§ 6. Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычислению интегралов . 300

Глава VIII. Элементы операционного исчисления

§ 1. Нахождение изображений функций 305

§ 2. Отыскание оригинала по изображению 307

§ 3. Свертка функций. Изображение производных и интеграла от оригинала 310

§ 4. Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений 312

§ 5. Общая формула обращения 315

§ 6. Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики . 316

Глава IX. Методы вычислений

§ 1. Приближенное решение уравнений 321

§ 2. Интерполирование 330

§ 3. Приближенное вычисление определенных интегралов 334

§ 4. Приближенное вычисление кратных интегралов .. . 338

§ 5. Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов 350

§ 6. Численное интегрирование дифференциальных уравнений . 362

§ 7. Метод Пикара последовательных приближений 368

§ 8. Простейшие способы обработки опытных данных 370

Глава X. Основы вариационного исчисления

§ 1. Понятие о функционале 385

§ 2. Понятие о вариации функционала 386

§ 3. Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера 387

§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков 393

§ 5. Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой переменной 394

§ 6. Функционалы, зависящие от функций двух независимых переменных 395

§ 7. Параметрическая форма вариационных задач 396

§ 8. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала 397

Ответы 398

Приложение 409