Теория бифуркаций

Купить бумажную книгу и читать

Название: Теория бифуркаций

Автор: Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П.

Издательство: Физматлит

Год издания: 1980

Страниц: 214

Язык: русский

Формат: djvu

Качество: хорошее

Размер: 2.15 Мб

Обзор, представленный в книге, посвящен бифуркациям фазовых портретов дифференциальных уравнений - не только бифуркациям положения равновесия и предельных циклов, но и перестройкам системы в целом и, прежде всего, ее инвариантных множеств и аттракторов! Очень полный обзор с огромным количеством литературы!

Оглавление:

Предисловие [9]

Глава 1. Бифуркации положений равновесия [12]

§ 1. Семейства и деформации [13]

1.1. Семейства векторных полей [13]

1.2. Пространство струй [13]

1.3. Лемма Сарда и теоремы трансверсальности [14]

1.4. Простейшие приложения: особые точки типичных векторных полей [15]

1.5. Топологически нереальные деформации [15]

1.6. Теорема сведения [17]

1.7. Типичные и главные семейства [18]

§ 2. Бифуркации особых точек в типичных однопараметрических семействах [20]

2.1. Типичные ростки и главные семейства [20]

2.2. Мягкая и жесткая потеря устойчивости [20]

§ 3. Бифуркации особых точек в многопараметрических семействах общего положения при однократном вырождении линейной части [23]

3.1. Главные семейства [23]

3.2. Бифуркационные диаграммы главных семейств (3±) [24]

3.3. Бифуркационные диаграммы (относительно слабой эквивалентности) и фазовые портреты главных семейств (4±) [24]

§ 4. Бифуркации особых точек векторных полей с двукратным вырождением линейной части [26]

4.1. Список вырождений [26]

4.2. Два вулевых собственных значения [26]

4.3. Редукции к двумерным системам [27]

4.4. Нулевое и пара чисто мнимых собственных значений [28]

4.5. Две чисто мнимых пары [31]

4.6. Главные деформации уравнений трудного типа в задаче о двух мнимых парах (по Жолондеку) [35]

§ 5. Показатели мягкой и жесткой потери устойчивости [39]

5.1. Определевия [39]

5.2. Таблица показателей [40]

Глава 2. Бифуркации предельных циклов [42]

§ 1. Бифуркации предельных циклов в типичных однопараметрических семействах [43]

1.1. Мультипликатор 1 [43]

1.2. Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода [45]

1.3. Пара комплексно сопряженных мультипликаторов [46]

1.4. Нелокальные бифуркации в однопараметрических семействах диффеоморфизмов [47]

1.5. Нелокальные бифуркации периодических решений [49]

1.6. Бифуркации распада инвариаитньйс торов [49]

§ 2. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах при однократном дополнительном вырождении [52]

2.1. Перечень вырождений [52]

2.2. Мультипликатор 1 или —1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах [53]

2.3. Пара мультипликаторов на единичной окружности с дополнительным вырождением в нелинейных членах [53]

§ 3. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах при сильных резоиансах порядка (?) [55]

3.1. Нормальная форма в случае унипотентиой жордаиовой клетки [56]

3.2. Усреднение в слоениях Зейферта и Мёбиуса [57]

3.3. Главные поля и деформации [57]

3.4. Версальиость главных деформаций [58]

3.5. Бифуркации стационарных решений периодических дифференциальных уравнений при сильных резонансах порядка (?) [58]

§ 4. Бифуркации предельных циклов при прохождении пары мультипликаторов через (?) [62]

4.1. Вырожденные семейства [62]

4.2. Вырожденные семейства, найденные аналитически [63]

4.3. Вырожденные семейства, найденные численно [64]

4.4. Бифуркации в невырожденных семействах [66]

4.5. Предельвые циклы систем с симметрией четвертого порядка [66]

§ 5. Конечногладкие нормальные формы локальных семейств [66]

5.1. Обзор результатов [67]

5.2. Определения и примеры [67]

5.3. Общие теоремы и деформации нерезоиансных ростков [69]

5.4. Приведение к линейной нормальной форме [71]

5.5. Деформации ростков диффеоморфизмов типа Пуанкаре [71]

5.6. Деформации одиорезоиансиых гиперболических ростков [72]

5.7. Деформации ростков, векторных полей с одним нулевым собственным значением в особой точке [74]

5.8. Функциональные инварианты диффеоморфизмов прямой [75]

5.9. Функциональные инварианты локальных семейств диффеоморфизмов [76]

5.10. Функциональные -инварианты семейств векторных полей [77]

5.11. Функциональные инварианты топологической классификации локальных семейств диффеоморфизмов прямой (по Руссари) [77]

§ 6. Универсальность Фейгенбаума для диффеоморфизмов и потоков [79]

6.1. Каскад удвоений [79]

6.2. Перестройки неподвижных точек [80]

6.3. Каскад (?)-кратных увеличений периода [81]

6.4. Удвоение в гамильтоновых системах [81]

6.5. Оператор удвоения для одномерных 'отображений [82]

6.6. Механизм универсального удвоения для диффеоморфизмов [84]

Глава 3. Нелокальные бифуркации [86]

§ 1. Вырождения коразмерности 1. Сводка результатов [87]

1.1. Локальные и нелокальные бифуркации [87]

1.2. Негиперболнческие особые точки [88]

1.3. Негиперболические циклы [90]

1.4. Нетрансверсальиые пересечения многообразий [91]

1.5. Контуры [92]

1.6. Бифуркационные поверхности [94]

1.7. Характеристики бифуркаций [95]

1.8. Сводка результатов [97]

§ 2. Нелокальные бифуркации потоков на двумерных поверхностях [97]

2.1. Полулокальные бифуркации потоков на поверхностях [98]

2.2. Нелокальные бифуркации на сфере; однопараметрический случай [99]

2.3. Типичные семейства векторных полей [100]

2.4. Условия типичности [102]

2.5. Однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от сферы [102]

2.6. Глобальные бифуркации систем, с глобальной секущей на торе [104]

2.7. Некоторые глобальные бифуркации на бутылке Клейна [105]

2.8. Бифуркации иа двумерной сфере. Многопараметрический случай [105]

2.9. Некоторые открытые вопросы [110]

§ 3. Бифуркации гомоклинических траекторий негиперболической особой точки [111]

3.1. Узел по гиперболическим переменным [111]

3.2. Седло по гиперболическим переменным: одна гомоклиническая траектория [112]

3.3. Топологическая схема Бернулли [112]

3.4. Седло по гиперболическим переменным: несколько гомоклинических траекторий [113]

3.5. Главные семейства [114]

§ 4. Бифуркации гомоклинических траекторий4 иегиперболического цикла [115]

4.1. Структура семейства гомоклииических траекторий [115]

4.2. Критические и некритические циклы [116]

4.3. Рождение гладкого двумерного аттрактора [116]

4.4. Рождение сложных инвариантных множеств (некритический случай) [117]

4.5. Критический случай [118]

4.6. Двухшаговый переход от устойчивости к турбулентности [121]

4.7. Некомпактное множество гомоклинических траекторий [121]

4.8. Перемежаемость [122]

4.9. Достижимость, недостижимость [122]

4.10. Устойчивость семейств диффеоморфизмов [124]

4.11. Некоторые открытые вопросы [126]

§ 5. Гиперболические особые точки с гомоклинической траекторией [127]

5.1. Предварительные понятия: ведущие направления и седловые величины [127]

5.2. Бифуркации гомоклииических траекторий седла, происходящие на границе множества систем Морса — Смейла [127]

5.3. Требования общности положения [128]

5.4. Главные семейства в R3 и их свойства [129]

5.5. Версальность главных семейств [132]

5.6. Седло с комплексным ведущим направлением в R3 [133]

5.7. Добавление: бифуркации гомоклииических петель вне 'границы множества систем Морса — Смейла [137]

§ 6. Бифуркации, связанные с иетрансверсальными пересечениями [138]

6.1. Векторные поля без контуров и гомоклииических траекторий [138]

6.2. Теорема о недостижимости [139]

6.3. Модули [140]

6.4. Системы с контурами [141]

6.5. Диффеоморфизмы с нетривиальными базисными множествами [141]

6.6. Векторные поля в R3 с гомоклииической траекторией цикла [142]

6.7. Символическая динамика [143]

6.8. Бифуркации «подков Смейла» [145]

6.9. Векторные поля на бифуркационной поверхности [147]

6.10. Диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых периодических траекторий [148]

§ 7. Бесконечные неблуждающие множества [149]

7.1. Векторные поля на двумерном торе [149]

7.2. Бифуркации систем с двумя гомоклииическими кривыми седла [150]

7.3. Системы с аттракторами Фейгенбаума [151]

7.4. Рождение неблуждающих множеств [152]

7.5. Сохранение и гладкость инвариантных многообразий (по Фе-ничелю) [153]

7.6. Вырожденное семейство и его окрестность в функциональном пространстве [154]

7.7. Рождение торов в трехмерном фазовом пространстве [155]

§ 8. Аттракторы и их бифуркации [156]

8.1. Вероятностно предельные множества (по Милнору) [157]

8.2. Статистически предельные множества [157]

8.3. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов [159]

8.4. Внутренние бифуркации и кризисы положений равновесия и циклов [160]

8.5. Бифуркации двумерного тора [161]

Глава 4. Релаксационные колебания [165]

§ 1. Основные понятия [166]

1.1. Пример. Уравнение Ван дер Поля [166]

1.2. Быстрые и медленные движения [167]

1.3. Медленная поверхность и медленное уравнение [168]

1.4. Медленное движение как аппроксимация возмущенного [169]

1.5. Явление срыва [170]

§ 2. Особенности быстрого и медленного движений [171]

2.1. Особенности быстрого движения в точках срыва систем с одной быстрой переменной [171]

2.2. Особенности проектирования медленной поверхности [173]

2.3. Медленное движение систем с одной медленной переменной [174]

2.4. Медленное движение систем с двумя медленными переменными [175]

2.5. Нормальные формы фазовых кривых медленного движения [176]

2.6. Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной [179]

2.7. Вырождение контактной структуры [181]

§ 3. Асимптотика релаксационных колебаний [183]

3.1. Вырожденные системы [183]

3.2. Системы первого приближения [184]

3.3. Нормализация быстро-медленных уравнений с двумя медленными переменными при (?)>0 [185]

3.4. Вывод систем первого приближения [188]

3.5. Исследование систем первого приближения [188]

3.6. Воронки [190]

3.7. Периодические релаксационные колебания на плоскости [190]

§ 4. Затягивание потери устойчивости при переходе пары собственных значений через мнимую ось [192]

4.1. Типичные системы [192]

4.2. Затягивание потери устойчивости [193]

4.3. Жесткость потери устойчивости в аналитических системах типа 2 [194]

4.4. Гистерезис [195]

4.5. Механизм затягивания [195]

4.6. Вычисление момента срыва в аналитических системах [196]

4.7. Затягивание при потере устойчивости циклом [199]

4.8. Затягивание потери устойчивости и «утки» [199]

§ 5. Решения-утки [199]

5.1. Пример: особая точка на складке медленной поверхности [200]

5.2. Существование решений-уток [202]

5.3. Эволюция простых вырожденных уток [203]

5.4. Полулокальное явление: утки с релаксацией [204]

5.5. Утки и (?) и (?) [205]

Рекомендуемая литература [207]

Литература [209]