Элементы высшей математики для школьников

Купить бумажную книгу и читать

Название: Элементы высшей математики для школьников

Автор: Фаддеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф.

Издательство: Наука, Физматлит

Год: 1987

Страниц: 336

Формат: PDF

Размер: 31 Mб

Язык: русский

Эта книга написана на основе материалов, по которым велось экспериментальное преподавание курса алгебры и начал математического анализа, предложенного Д.К. Фаддеевым для средней школы и по содержанию значительно шире существующих сейчас учебников по математике для средней школы.

Например, кроме традиционного уже для курса средней школы понятия первой производной (и ее приложений к исследованию функций), в книге рассмотрено понятие производных высшего порядка и на его основе дан вывод формулы бинома Ньютона, введено понятие порядка близости функций, получена формула Тейлора, рассмотрены проблемы приближенных вычислений на основе понятия дифференциала. В книге даны несколько более полные и строгие доказательства теорем, чем это обычно принято в школе, но не это было основной задачей, которую ставили перед собой авторы.

Одна из главных целей этой книги — показать, что основные идеи математического анализа очень просты и наглядны, если их излагать на том интуитивном уровне, на котором они фактически возникли. Поэтому с первых страниц книги вводится простое соображение, которое авторы называют «основным принципом» дифференциального исчисления. Согласно этому принципу достаточно малый кусочек гладкой кривой почти совпадает с отрезком некоторой прямой, и их различие постепенно исчезает по мере стягивания участка кривой к некоторой точке. Наглядные рассуждения, основанные на этом принципе, везде, где это оказалось возможным, предшествуют строгим доказательствам.

Авторы считают, что понимание основного принципа дифференциального исчисления и неформальное владение этим принципом имеют большое методологическое и мировоззренческое значения и должны предшествовать изучению серьезных вузовских, в том числе и университетских курсов математического анализа.

Оглавление:

Основные понятия дифференциального исчисления.

Основной принцип дифференциального исчисления.

Бесконечно малые величины.

Сходящиеся переменные и их пределы.

Бесконечно большие величины.

Примеры на вычисление пределов.

Пределы функций.

Непрерывность функций.

Уточнение понятия производной.

Уравнение касательной к графику функции.

Скорость изменения функции.

Скорость механического движения точки по прямой.

Дифференциал функции.

Дифференциал функции от функции.

Техника дифференцирования.

Дифференцирование результатов арифметических действий.

Дифференцирование логарифмической функции.

Доказательство существования предела функции (l+h)1/h при h → 0.

Дифференцирование показательной функции.

Дифференцирование степенной функции.

Дифференцирование функций, заданных уравнениями.

Некоторые приложения дифференциального исчисления.

Признаки возрастания и убывания функций.

Уточнение доказательств теорем о возрастании и убывании функций.

Максимум и минимум функций.

Один несложный пример и некоторые выводы из его рассмотрения.

Производные высших порядков.

Бином Ньютона.

Применение производных высших порядков к исследованию функций.

Порядок малости функций в окрестности точки, в которой функция обращается в нуль и порядок близости функций.

Связь порядка малости с порядком первой отличной от нуля производной.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Общие понятия теории приближенных вычислений.

Оценка погрешностей результатов вычислений с приближенно заданными числами.

Тригонометрические функции.

Обобщение понятия угла.

Измерение углов в радианах.

Функции синус и косинус.

Простейшие свойства функций синус и косинус

Приведение значений функций синус и косинус к значениям на интервале 0 ≤ φ ≤ π/4.

Функции тангенс и котангенс.

Выражение тригонометрических функций друг через друга.

Один важный предел.

Графики функций y = sin x и y = cos x.

Графики функций y = tg x и y = ctg x.

Преобразование выражений с тригонометрическими функциями и некоторые приложения.

Синус и косинус суммы и разности аргументов.

Тангенс и котангенс суммы н разности.

Тригонометрические функции удвоенного аргумента и некоторых кратных аргументов.

Тригонометрические функции половинного аргумента.

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Выражение произведений функций синус и косинус в виде сумм и выражение сумм в виде произведений.

Преобразование линейной, комбинации синуса и косинуса.

Гармонические колебания.

Колебания с переменной амплитудой.

Простейшие тригонометрические уравнения и обратные тригонометрические функции.

Некоторые действия над прямыми и обратными тригонометрическими функциями.

Тригонометрические уравнения.

Решение простейших тригонометрических неравенств.

Тригонометрические неравенства более общего вида.

Примеры на доказательство неравенств с тригонометрическими выражениями.

Дифференциалы и производные тригонометрических функций.

Применение производных к исследованию функций, выражающихся через тригонометрические.

Производные и дифференциалы обратных тригонометрических функций.

Элементы интегрального исчисления.

Определение интегрирования.

Более строгое доказательство леммы.

Простейшие формулы интегрирования.

Интегрирование, основанное на использовании инвариантности формулы дифференциала функции от функции.

Интегрирование по частям.

Площадь криволинейной трапеции.

Простейшие свойства определенных интегралов.

Представление интеграла в виде суммы.

Интеграл как предел суммы.

Приближенное вычисление интегралов.

Объем тела вращения.

Длина дуги кривой.

Площадь боковой поверхности тела вращения.

Понятие дифференциального уравнения.

Некоторые дифференциальные уравнения, играющие важную роль в механике.

Комплексные числа.

Вводные соображения.

Основные определения.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

Извлечение корня из комплексного числа.

Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной.

Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

Простейшие комбинаторные задачи.

О вероятности.

Сложение вероятностей.

Умножение вероятностей.

Применения к генетике.

Случайные величины.

Сумма независимых случайных величин.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, связанной со схемой Бернулли.

Неравенство Чебышева.

Закон больших чисел для схемы Бернулли.

Случайные блуждания на прямой.

Случайные величины, значения которых сосредоточены в промежутке или на всей вещественной оси.

Задача Бюффона.

Ответы и указания.