Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB

Купить бумажную книгу и читать

Название: Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB

Автор: Горбаченко В.И.

Издательство: БХВ-Петербург

Год: 2011

Страниц: 318

ISBN: 978-5-9775-0725-7

Формат: PDF

Размер: 10.5 Мб

Язык: русский

Излагаются теоретические основы численных методов, включая теорию погрешностей, особенности машинной арифметики, корректность и обусловленность вычислительных задач; современные прямые и итерационные методы решения больших систем линейных алгебраических уравнений. Основное внимание уделено современным итерационным методам на основе подпространств Крылова.

Рассмотрено решение частичной и полной проблемы собственных значений, в том числе для больших разреженных матриц. Для основных вычислительных методов приведены реализации с использованием программ, разработанных автором, а также соответствующие функции системы MATLAB.

Для студентов и преподавателей высших учебных заведений.

Оглавление

Введение............................................................................................................................1

Глава 1. Теоретические основы численных методов..............................................5

1.1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент......................5

1.2. Погрешности вычислений.........................................................................................7

1.2.1. Источники погрешностей вычислений.............................................................7

1.2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешность..............9

1.2.3. Особенности машинной арифметики..............................................................11

1.2.4. Трансформированные погрешности арифметических операций.................15

1.2.5. Трансформированные погрешности вычисления функций..........................18

1.3. Свойства вычислительных задач и алгоритмов....................................................19

1.3.1. Корректность вычислительной задачи............................................................19

1.3.2. Обусловленность вычислительной задачи......................................................22

1.3.3. Требования, предъявляемые к численному методу.......................................28

1.4. Вопросы и задания для самопроверки...................................................................29

Библиографический список к главе 1...........................................................................30

Глава 2. Прямые методы решения систем линейных

алгебраических уравнений.........................................................................33

2.1. Системы линейных алгебраических уравнений. Матрицы и их свойства.........33

2.2. Метод Гаусса............................................................................................................37

2.3. Метод прогонки.......................................................................................................41

2.4. Метод LU-разложения.............................................................................................43

2.5. Метод Холецкого.....................................................................................................45

2.6. Метод LDLT-разложения.........................................................................................48

2.7. Метод QR-разложения.............................................................................................50

2.7.1. Метод вращений................................................................................................50

2.7.2. Метод отражений..............................................................................................57

2.7.3. Приведение матриц к форме Хессенберга......................................................62

2.8. Вычисление определителей и обращение матриц................................................63

2.9. Оценка погрешностей решений, получаемых прямыми методами....................65

2.10. Решение систем с прямоугольными матрицами.................................................66

2.10.1. Постановка задачи наименьших квадратов. Нормальные уравнения........66

2.10.2. Использование QR-разложения для решения задачи наименьших квадратов..........................................................................................................68

2.10.3. Использование сингулярного разложения....................................................71

2.11. Реализация прямых методов в MATLAB............................................................74

2.11.1. Некоторые функции матричных вычислений и реализации прямых методов в MATLAB........................................................................................74

2.11.2. Хранение и обработка разреженных матриц................................................87

2.11.3. Примеры программ.........................................................................................98

2.12. Задания для лабораторных и самостоятельных работ......................................109

2.13. Вопросы и задания для самопроверки...............................................................116

Библиографический список к главе 2.........................................................................117

Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных

алгебраических уравнений.......................................................................119

3.1. Дискретизация задач математической физики и особенности решения

систем алгебраических уравнений Equation Chapter 3 Section 1........................119

3.2. Основные теоретические положения итерационных методов..........................125

3.3. Метод Ричардсона..................................................................................................130

3.4. Методы простой итерации и Якоби.....................................................................132

3.5. Методы Зейделя и последовательной верхней релаксации...............................135

3.5.1. Метод Зейделя.................................................................................................135

3.5.2. Метод последовательной верхней релаксации.............................................136

3.6. Блочные и асинхронные итерационные методы.................................................140

3.7. Методы спуска.......................................................................................................142

3.8. Предобусловливатели............................................................................................149

3.9. Методы подпространств Крылова........................................................................151

3.9.1. Краткие сведения из функционального анализа и линейной алгебры.......151

3.9.2. Проекционные методы....................................................................................158

3.9.3. Подпространства Крылова.............................................................................163

3.9.4. Методы ортогонализации...............................................................................164

3.9.5. Метод сопряженных градиентов...................................................................174

3.9.6. Методы подпространств Крылова для несимметричных и знаконеопределенных задач.....................................................................................184

3.10. Итерационные методы решения нормальных систем линейных алгебраических уравнений..................................................................................197

3.11. Итоговые замечания............................................................................................202

3.12. Реализация итерационных методов в MATLAB...............................................203

3.12.1. Некоторые функции реализации итерационных методов в MATLAB.......203

3.12.2. Примеры программ.......................................................................................212

3.13. Задания для лабораторных и самостоятельных работ......................................232

3.14. Вопросы и задания для самопроверки...............................................................234

Библиографический список к главе 3 ......................................................................... 235

Глава 4. Вычисление собственных значений и собственных

векторов матриц.........................................................................................239

4.1. Собственные пары матриц и их свойства............................................................239

4.2. Решение частичной проблемы собственных значений......................................245

й метод.............................................................................................245

4.2.2. Метод скалярных произведений....................................................................250

4.2.3. Метод обратных итераций. Обратные итерации со сдвигами....................252

4.2.4. Градиентный метод решения частичной проблемы собственных значений...........................................................................................................254

4.3. Решение полной проблемы собственных значений...........................................255

4.3.1. QR-алгоритм решения полной проблемы собственных значений.............255

4.3.2. Методы для симметричных задач на собственные значения......................263

4.3.3. Использование QR-алгоритма для вычисления собственных векторов .... 265

4.4. Вычисление сингулярного разложения...............................................................267

4.4.1. Приведение матрицы к двухдиагональной форме.......................................267

4.4.2. Сингулярное разложение двухдиагональной матрицы...............................270

4.5. Вычисление собственных значений больших разреженных матриц................275

4.5.1. Метод одновременных итераций...................................................................275

4.5.2. Метод Арнольди.............................................................................................. 278

4.5.3. Метод Ланцоша...............................................................................................281

4.6. Обобщенная задача на собственные значения .................................................... 283

4.6.1. Основы теории.................................................................................................283

4.6.2. Решение обобщенной задачи на собственные значения.............................284

4.7. Вычисление собственных пар в MATLAB..........................................................288

4.7.1. Стандартные функции MATLAB...................................................................288

4.7.2. Примеры программ.........................................................................................296

4.8. Задания для лабораторных и самостоятельных работ........................................301

4.9. Вопросы и задания для самопроверки.................................................................302

Библиографический список к главе 4 ......................................................................... 303

Литература по вычислительной математике.......................................................305

Литература по системе MATLAB.......................................................................309

Предметный указатель .............................................................................................. 311