Riemannian Geometry

Купить бумажную книгу и читать

Автор: Eisenhart L.P. / Эйзенхарт Л.П.

Название: Riemannian Geometry (2ed) / Риманова геометрия (2-е изд.)

Издательство: Prinston University Press

Год: 1949

Формат: DjVu

Размер: 2.86 Mb

ISBN: 978-0-691-02353-3

Язык: Английский

Для сайта:

In his classic work of geometry, Euclid focused on the properties of flat surfaces. In the age of exploration, mapmakers such as Mercator had to concern themselves with the properties of spherical surfaces. The study of curved surfaces, or non-Euclidean geometry, flowered in the late nineteenth century, as mathematicians such as Riemann increasingly questioned Euclid's parallel postulate, and by relaxing this constraint derived a wealth of new results. These seemingly abstract properties found immediate application in physics upon Einstein's introduction of the general theory of relativity.

In this book, Eisenhart succinctly surveys the key concepts of Riemannian geometry, addressing mathematicians and theoretical physicists alike.

Изучение римановой геометрии стимулируется в настоящее время современной физической интерпретацией внутренней дифференциальной геометрии пространств. Теория поверхностей, развитая Гауссом, была обобщена на пространства любого числа измерений Риманом, которому и принадлежат основные идеи этой общей теории.

В дальнейшем важные дополнения были сделаны Бианки, Бельтрами, Кристоффелем, Шуром, Фоссом и другими. Риччи, используя созданное им абсолютное дифференциальное исчисление и тензорный анализ, расширил и собрал воедино все имевшиеся результаты общей теории. В настоящее время риманова геометрия представляет собой обширную и развивающуюся науку. Моя книга имеет своей целью дать представление о ее современном состоянии.

На протяжении всей книги я систематически использую методы тензорного анализа и абсолютного дифференциального исчисления Риччи и Леви-Чивита. Основы тензорного анализа даны в первой главе. Форма и объем изложения не предполагают у читателя предва. рительного знакомства с предметом и, разумеется, не исчерпывают всего его содержания.

Многие (если не все) авторы работ по римановой геометрии ограничивались изучением пространств с метрикой, заданной положительно определенной квадратичной дифференциальной формой. Между тем, в теории относительности используется пространство с неопределенной основной формой. В силу этого в моей книге на основную квадратичную форму не накладывается указанное выше ограничение. Многие результаты старой теории получили поэтому здесь соответственно измененную форму; однако в этом направлении сделано еще далеко не все.

Теория параллельного перенесения векторов в римановом пространстве, созданная Леви-Чивита и развитая другими авторами, изложена во второй главе и используется в других частях книги. Я не касался здесь обобщений теории параллельного перенесения.