Методы некоммутативного анализа

Купить бумажную книгу и читать

Название: Методы некоммутативного анализа

Автор: Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е.

Издательство: Техносфера

Год: 2002

Страниц: 336

ISBN: 5-94836-002-4

Формат: PDF

Размер: 22 Мб

Язык: русский

Серия: Мир математики

Некоммутативный анализ, т.е. исчисление некоммутирующих операторов, является одним из основных средств современной математики. До настоящего времени не существовало достаточно простого изложения некоммутативного анализа, которое, с одной стороны, могло бы служить введением в предмет и было бы понятно неспециалистам, а с другой, содержало бы достаточное количество простых примеров из математики и физики и давало бы в руки исследователей новый мощный и, что очень важно, унифицированный аппарат исследования. Предлагаемая книга заполняет этот пробел и может служить хорошим учебным пособием по овладению этим новым и мощным средством математики.

Оглавление

Предисловие 7

I. Элементарные понятия некоммутативного анализа 9

1. Примеры, в которых возникают функции некоммутиру-ющих операторов....................... 9

1.1. Неавтономные линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Г-экспонента........ 10

1.2. Квантовая механика. Операторы рождения и уничтожения ......................... 13

1.3. Дифференциальные и интегральные операторы . . 17

1.4. Задачи теории возмущений.............. 19

1.5. Закон умножения в группах Ли............ 23

1.6. Задача о собственных значениях квантового осциллятора ........................... 25

1.7. Г-экспоненты, формулы Троттера и континуальные интегралы...................... 30

2. Функции некомму тирующих операторов: конструкция и основные свойства..................... 33

2.1. Мотивировки....................... 34

2.2. Определение и теорема единственности....... 38

2.3. Основные свойства ................... 46

2.4. Медленно растущие символы и производящие операторы групп степенного роста............ 56

2.5. Влияние классов символов на свойства генераторов 59

2.6. Квантование Вейля................... 62

3. Некоммутативное дифференциальное исчисление .... 66

3.1. Формула дифференцирования............. 67

3.2. Теорема Далецкого-Крейна.............. 70

3.3. Разложения более высоких порядков ........ 71

3.4. Перестановка фейнмановских номеров........ 78

3.5. Формула сложной функции.............. 83

4. Теорема Кемпбелла-Хаусдорфа и формула Дынкина . . 88

4.1. Постановка задачи.................... 88

4.2. Операция коммутирования............... 90

4.3. Замкнутая формула для ln(еBеА)........... 93

4.4. Замкнутая формула для логарифма Г-экспоненты 97

5. Резюме: правила "операторной арифметики" и некоторые стандартные приемы.................. 104

5.1. Обозначения....................... 105

5.2. Правила.......................... 106

5.3. Стандартная техника.................. 108

II. Метод упорядоченного представления 117

1. Определение и основное свойство упорядоченного представления ............................ 117

1.1. Виковская нормальная форма............. 117

1.2. Упорядоченное представление и теорема о композиции ........................... 120

1.3. Редукция к нормальной форме............ 123

2. Вычисление упорядоченного представления....... 128

2.1. Функции операторов х и —ід/дх ........... 129

2.2. Возмущенные гейзенберговские соотношения ... 131

2.3. Нелинейные коммутационные соотношения .... 132

2.4. Лиевские коммутационные соотношения...... 135

2.5. Градуированные алгебры Ли ............. 140

3. Условие Якоби и теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта . 142

3.1. Упорядоченное представление и условие Якоби . . 143

3.2. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта......... 149

3.3. Примеры проверки условия Якоби.......... 153

4. Условие Якоби и уравнения Янга-Бакстера ....... 156

5. Представления групп Ли и функции их инфинитези-мальных образующих .................... 170

5.1. Условия на представление............... 170

5.2. Гильбертовы шкалы................... 172

5.3. Пространства символов................. 177

5.4. Классы символов и асимптотические задачи .... 183

III. Некоммутативный анализ и дифференциальные уравнения 189

1. Основные идеи......................... 189

1.1. Метод Хевисайда для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами........ 193

1.2. Нестандартные характеристики и асимптотические разложения........................ 199

1.3. Асимптотические разложения. Гладкость в сравнении с параметром.................... 203

1.4. Асимптотические разложения относительно упорядоченного набора операторов ............. 206

1.5. Редукция к псевдодифференциальным уравнениям 208

1.6. Коммутация псевдодифференциального оператора с экспонентой....................... 211

1.7. Резюме: общая схема.................. 214

2. Разностные и дифференциально-разностные уравнения 216

2.1. Разностные аппроксимации как псевдодифференциальные уравнения.................. 217

2.2. Разностные аппроксимации как функции от х и 8% 219

2.3. Еще один подход к разностным аппроксимациям . 222

3. Распространение электромагнитных волн в плазме . . . 224

3.1. Постановка задачи.................... 225-

3.2. Построение асимптотического разложения..... 226

3.3. Анализ асимптотического решения.......... 230

4. Уравнения геострофического ветра............ 233

Приложение А. Представления алгебр и групп Ли 243

1. Алгебры Ли и их представления.............. 243

1.1. Алгебры Ли, базисы, структурные константы, подалгебры........................ 243

1.2. Примеры алгебр Ли................... 244

1.3. Гомоморфизмы, идеалы, фактор-алгебры...... 246

1.4. Представления...................... 247

1.5. Присоединенное представление. Центр алгебры Ли 248

1.6. Теорема Адо....................... 248

1.7. Нильпотентные алгебры Ли.............. 249

2. Группы Ли и их представления............... 250

2.1. Группы Ли, подгруппы, теорема Глисона-Монтго-мери-Циппина...................... 250

2.2. Примеры групп Ли................... 250

2.3. Локальные группы Ли................. 251

2.4. Гомоморфизмы групп Ли, нормальные подгруппы, фактор-группы...................... 252

2.5. Левые и правые сдвиги. Мера Хаара......... 252

2.6. Левые и правые регулярные представления .... 253

2.7. Представления групп Ли................ 254

3. Связь между группами и алгебрами Ли.......... 255

3.1. Алгебра Ли группы Ли................. 255

3.2. Примеры ......................... 256

3.3. Экспоненциальное отображение, однопараметрические подгруппы, координаты I и II рода....... 258

3.4. Вычисление коммутатора с помощью экспоненциального отображения.................. 260

3.5. Производные гомоморфизмы ............. 261

3.6. Производное представление.............. 262

3.7. Группа Ли, соответствующая алгебре Ли...... 265

3.8. Теорема Крейна-Шихватова.............. 267

Приложение В. Псевдодифференциальные операторы 273

1. Элементарное введение.................... 273

2. Пространства символов и генераторы........... 281

3. Функции операторов х и —ід/дх.............. 285

Глоссарий 291

Библиографические замечания 315

Библиография 321

Предметный указатель 332