Вычислительные методы

Купить бумажную книгу и читать

Название: Вычислительные методы

Автор: Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.

Издательство: СПб.: Лань

Год: 2014

Страниц: 672

ISBN: 978-5-8114-1623-3

Формат: PDF

Размер: 20 Мб

Язык: русский

Серия: Учебники для вузов. Специальная литература

В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике прикладных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры, нелинейных уравнений, проблемы собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, численное решение интегральных уравнений, линейная и нелинейная задачи метода наименьших квадратов, метод сопряженных градиентов.

Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на компьютере и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций. Даются сведения о стандарте IEEE, о сингулярном разложении матрицы и его применении для решения переопределенных систем, о двухслойных итерационных методах, о квадратурных формулах Гаусса-Кронрода, о методах Рунге-Кутты-Фельберга.

Учебное пособие предназначено для студентов всех направлений подготовки, обучающихся в классических и технических университетах и изучающих вычислительные методы, будет полезно аспирантам, инженерам и научным работникам, применяющим вычислительные методы в своих исследованиях.

Содержание:

Математическое моделирование и решение прикладных задач с применением компьютера.

Математическое моделирование и процесс создания математической модели.

Основные этапы решения прикладной задачи с применением компьютера.

Вычислительный эксперимент.

Дополнительные замечания.

Введение в элементарную теорию погрешностей.

Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи.

Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности.

Погрешность арифметических операций над приближенными числами.

Погрешность функции.

Особенности машинной арифметики.

Дополнительные замечания.

Вычислительные задачи, методы и алгоритмы. Основные понятия.

Корректность вычислительной задачи.

Обусловленность вычислительной задачи.

Вычислительные методы.

Корректность вычислительных алгоритмов.

Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления.

Различные подходы к анализу ошибок.

Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам.

Дополнительные замечания.

Методы отыскания решений нелинейных уравнений.

Постановка задачи. Основные этапы решения.

Обусловленность задачи вычисления корня.

Метод бисекции.

Метод простой итерации.

Обусловленность метода простой итерации.

Метод Ньютона.

Модификации метода Ньютона.

Дополнительные замечания.

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Постановка задачи.

Нормы вектора и матрицы.

Типы используемых матриц.

Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителей.

Метод Гаусса и разложение матрицы на множители, LU-разложение.

Метод Холецкого (метод квадратных корней).

Метод прогонки.

QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений.

Итерационное уточнение.

Линейная задача метода наименьших квадратов.

Дополнительные замечания.

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод простой итерации.

Метод Зейделя.

Метод последовательной верхней релаксации.

Другие двухслойные итерационные методы.

Метод сопряженных градиентов.

Дополнительные замечания.

Методы отыскания решений систем нелинейных уравнений.

Постановка задачи. Основные этапы решения.

Метод простой итерации.

Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

Модификации метода Ньютона.

О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений.

Дополнительные замечания.

Методы решения проблемы собственных значений.

Постановка задачи. Некоторые вспомогательные сведения.

Степенной метод.

Метод обратных итераций.

QR-алгоритм.

Дополнительные замечания.

Методы одномерной минимизации.

Задача одномерной минимизации.

Обусловленность задачи минимизации.

Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения.

Метод Ньютона и другие методы минимизации гладких функций.

Дополнительные замечания.

Методы многомерной минимизации.

Задача безусловной минимизации функции многих переменных.

Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск.

Градиентный метод.

Метод Ньютона.

Метод сопряженных градиентов.

Методы минимизации без вычисления производных.

Нелинейная задача метода наименьших квадратов.

Дополнительные замечания.

Приближение функций и смежные вопросы.

Постановка задачи приближения функций.

Интерполяция обобщенными многочленами.

Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа.

Погрешность интерполяции.

Интерполяция с кратными узлами.

Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева.

Конечные разности.

Разделенные разности.

Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена.

Обсуждение глобальной полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиальной интерполяции.

Интерполяция сплайнами.

Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции.

Метод наименьших квадратов.

Равномерное приближение функций.

Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций.

Дополнительные сведения об интерполяции.

Дополнительные замечания.

Численное дифференцирование.

Простейшие формулы численного дифференцирования.

О выводе формул численного дифференцирования.

Обусловленность формул численного дифференцирования.

Дополнительные замечания.

Численное интегрирование.

Простейшие квадратурные формулы.

Квадратурные формулы интерполяционного типа.

Квадратурные формулы Гаусса.

Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования.

Вычисление интегралов в нерегулярных случаях.

Дополнительные замечания.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения.

Использование формулы Тейлора.

Метод Эйлера.

Модификации метода Эйлера второго порядка точности.

Методы Рунге—Кутты.

Линейные многошаговые методы. Методы Адамса.

Устойчивость численных методов решения задачи Коши.

Неявный метод Эйлера.

Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка.

Жесткие задачи.

Дополнительные замечания.

Решение двухточечных краевых задач.

Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности.

Метод конечных разностей: основные понятия.

Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида.

Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Галеркина. Метод конечных элементов.

Метод пристрелки.

Дополнительные замечания.

Численное решение интегральных уравнений.

Понятие об интегральных уравнениях.

Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям.

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Введение в теорию.

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Метод квадратур.

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Проекционные методы.

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Методы наименьших квадратов и коллокации.

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Метод замены ядра на вырожденное.

Интегральные уравнения Вольтерра второго рода.

Интегральные уравнения Фредгольма первого рода.

Интегральные уравнения Вольтерра первого рода.

Нелинейные интегральные уравнения.

Дополнительные замечания.

Список литературы.

Предметный указатель.